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有限元法求解问题的基本步骤介绍

访客3年前 (2022-09-14)分享119

有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域,常常需要求解各类微分方程,而许多微分方程的解析解一般很难得到,使用有限元法将微分方程离散化后,可以编制程序,使用计算机辅助求解。

有限元法求解步骤

  • 01

    结构离散化对整个结构进行离散化,将其分割成若干个单元,单元间彼此通过节点相连;

  • 02

    求出各单元的刚度矩阵[K](e)[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵,其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);

  • 03

    集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量 的转移矩阵,其关系式为{F}= [K] {Φ},此即为总体平衡方程。

  • 04

    引入支撑条件,求出各节点的位移节点的支撑条件有两种:一种是节点n沿某个方向的位移为零,另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。

  • 05

    求出各单元内的应力和应变对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为7点

基本思路和解题步骤

  • 01

    建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。

  • 02

    区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

  • 03

    确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元 具有规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。

  • 04

    单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。

  • 05

    总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加,形成总体有限元方程。

  • 06

    边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件,一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。

  • 07

    解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。

FELAC 2.0 简介

  • 01

    FELAC2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言,它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式,非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式,并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。

  • 02

    FELAC2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后,就可以得到所有有限元计算的程序代码,包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面,新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能,并且丰富了文本编辑功能,改善了用户的视觉体验,方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。

特别提示

FELAC 2.0分为串行版和并行版,请选择所需版本使用

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